Máximo divisor comum

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é o maior número inteiro que divide dois ou mais números inteiros sem deixar resto

O mdc é obtido multiplicando-se os fatores primos comuns e com os menores expoentes

Quando temos dois números consecutivos entre si, podemos concluir que o MDC deles é 1, uma vez que eles serão sempre números primos entre si. Por exemplo: 25 e 26 (o maior número que divide ambos é o 1);
Quando temos dois ou mais números e um deles é divisor dos outros, podemos concluir que ele é o MDC dos números, por exemplo, 3 e 6. (se 3 é divisor de 6, ele é o MDC de ambos)

24: 24/2; 12/2;6/2;3/3= 2.2.2.3=2³.3

36: 36/2;18/2;9/3;3/3=2.2.3.3=2².3³

mdc: 2².3=12

Método 1: Listar Divisores

Encontre os divisores de cada número: Liste todos os números que dividem cada um dos números dados, obtendo um resto zero.

Identifique os divisores comuns: Verifique quais números aparecem na lista de divisores de todos os números.

Determine o maior divisor comum: O maior número entre os divisores comuns é o MDC.

Exemplo: MDC de 12 e 16
Divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12
Divisores de 16: 1, 2, 4, 8, 16
Divisores comuns: 1, 2, 4
MDC: 4

Método 2: Fatoração em Primos

Decomponha cada número em fatores primos: Divida os números pelos menores números primos possíveis, até que o resultado seja 1.

Identifique os fatores comuns: Circule ou anote os fatores primos que são comuns a todas as decomposições.

Multiplique os fatores comuns: Multiplique esses fatores comuns para obter o MDC.

Exemplo: MDC de 40 e 60
40: 2 x 20 = 2 x 2 x 10 = 2 x 2 x 2 x 5
60: 2 x 30 = 2 x 2 x 15 = 2 x 2 x 3 x 5
Fatores comuns: Dois 2s e um 5 (2 x 2 x 5)
MDC: 20

(Vunesp) Em um colégio de São Paulo, há 120 alunos na 1.ª série do Ensino Médio, 144 na 2.ª e 60 na 3.ª. Na semana cultural, todos esses alunos serão organizados em equipes, com o mesmo número de elementos, sem que se misturem alunos de séries diferentes. O número máximo de alunos que pode haver em cada equipe é igual a:

a) 7
b) 10
c) 12
d) 28
e) 30

Devemos calcular o MDC(120,144,60). Para isso, fazemos a fatoração entre os três valores e multiplicamos os fatores que dividem, simultaneamente, as duas colunas.

Desta forma, o número máximo de alunos que pode haver em cada equipe é igual a 12.

(Enem-2015) Um arquiteto está reformando uma casa. De modo a contribuir com o meio ambiente, decide reaproveitar tábuas de madeira retiradas da casa. Ele dispõe de 40 tábuas de 540 cm, 30 de 810 cm e 10 de 1 080 cm, todas de mesma largura e espessura. Ele pediu a um carpinteiro que cortasse as tábuas em peças de mesmo comprimento, sem deixar sobras, e de modo que as novas peças ficassem com o maior tamanho possível, mas de comprimento menor que 2 m.
Atendendo o pedido do arquiteto, o carpinteiro deverá produzir
a) 105 peças
b) 120 peças
c) 210 peças
d) 243 peças
e) 420 peças

Resposta correta: e) 420 peças.

Calculamos o MDC entre as medidas das tábuas.

No entanto, o problema impõe um condição, as tábuas não podem ser maiores que 2m. Dessa forma, anulamos o menor fator primo encontrado na fatoração, nesse caso, o 2 e, multiplicamos os que restaram.

$3.3.3.5 igual a 135$

Dessa forma, cada nova tábua deve possuir 135 cm. Para calcular a quantidade, dividimos cada comprimento disponível por 135 e, multiplicamos pela quantidades.

Para 540
$540 dividido por 135 igual a 4$

Cada tábua de 540 cm, produz 4 tábuas de 135 cm. Como são 40 tábuas de 540 cm, fazemos a multiplicação:

$40 sinal de multiplicação 4 igual a 160 espaço t á b u a s$

Para 810
$810 dividido por 135 igual a 6$

Cada tábua de 810 cm, produz 6 tábuas de 135 cm. Como são 30 tábuas de 810 cm, fazemos a multiplicação:

$30 sinal de multiplicação 6 igual a 180 espaço t á b u a s$

Para 1080
$1080 dividido por 135 igual a 8$

Cada tábua de 1080 cm, produz 8 tábuas de 135 cm. Como são 10 tábuas de 1080 cm, fazemos a multiplicação:

$10 sinal de multiplicação 8 igual a 80 espaço t á b u a s$

Somando os totais

$160 mais 180 mais 80 igual a 420 espaço t á b u a s$

Portanto, o carpinteiro deverá produzir 420 peças.

(Enem-2015) O gerente de um cinema fornece anualmente ingressos gratuitos para escolas. Este ano serão distribuídos 400 ingressos para uma sessão vespertina e 320 ingressos para uma sessão noturna de um mesmo filme. Várias escolas podem ser escolhidas para receberem ingressos. Há alguns critérios para a distribuição dos ingressos:

1) cada escola deverá receber ingressos para uma única sessão;
2) todas as escolas contempladas deverão receber o mesmo número de ingressos;
3) não haverá sobra de ingressos (ou seja, todos os ingressos serão distribuídos).

O número mínimo de escolas que podem ser escolhidas para obter ingressos, segundo os critérios estabelecidos, é:

a) 2
b) 4
c) 9
d) 40
e) 80

Resposta correta c) 9.

Calculando o MDC entre 400 e 320.

Dividindo pelo número de alunos em cada escola

$400 dividido por 80 igual a 5 320 dividido por 80 igual a 4$

Ao total, temos 5 + 4 escolas, ou seja, 9 escolas.